量子力学：只需要一个假设
袁学锋
1：一个假设
我们学习量子力学，一般会从普朗克解释黑体辐射现象说起。然后是爱因斯坦的光量子假设、波尔的电子轨道量子化、德布罗意物质波、矩阵力学、薛定谔方程。然后一大堆原理和定律：不对易性、物质波理论、不确定性原理、波函数的统计解释、态叠加原理、概率守恒定律。之后会讲量子力学的几个基本假设。再有一些用于解释量子力学的概念：波粒二象性、塌缩等。我们会发现大部分是猜测出来的。
如果量子力学揭示的是自然的某个性质，那么应该只需要一个和物理常量有关的假设。就像狭义相对论，只需要一个光速恒定的假设。按照这个思路，上面的所有原理和定律应该可以统一成一个假设。我们既需要一个最终的解释，又需要证明现有的理论都是正确的。
2：物质波理论和不确定性原理
我们思考单电子双缝干涉实验。不观察电子从哪一条缝通过时，就发生干涉现象。观察电子从哪一条缝通过，干涉就消失了。那么逻辑上，观察所改变的就是干涉发生的原因。不观察时，不能确定电子在哪。观察时，确定电子在哪。观察改变的就是电子的不确定性。那么不确定性就是干涉发生的原因。有人会说：观察导致了波函数的塌缩，所以干涉消失了。这个塌缩假设不可检验，而且带来许多问题。我们能够确信的就是电子的不确定性被观察改变了。如果物质波是干涉发生的原因，那么只有一个可能，物质波理论和不确定性原理是同一个原理。有人会说：数学上已经证明它们有一致性。如果数学上的一致没有带来物理原理上的统一，那只是说明我们仍然不知道量子现象背后的物理原理。如果有，这个物理原理一定是唯一的。
如果物质波和不确定性实际上是同一个原理，那么物质波的波长和频率公式所表示的物理量之间的关系，必然和不确定性原理所表示的物理量之间的关系是一致的。波长公式P=h/2πƛ是一个空间长度和一定动量之间有固定关系，不确定性原理也同样是空间和动量之间有固定关系：∆P∆x≥h/4π。频率是时间的倒数，频率公式E=hω/2π就是一个时间段和一定能量之间的固定关系。不确定性原理也同样是时间和能量之间有固定关系：∆E∆t≥h/4π。
不确定性原理是不等式，而物质波的波长和频率公式是等式。比较狭义相对论，光速恒定的假设也可以写成不等式。任何物质的运动速度v满足：v ≤ c。光速是物质运动速度在极大值的情况。这提示我们，物质波理论只是物质的不确定性原理在极小值的情况。
3：物质波的相速度
不确定性原理有许多不同组的相关物理量，从这些不等式不容易看出各组之间的关系。我们从物质波入手。物质波只有波长和频率两个独立的公式。并且有波自然就有波速。物质波有一个与波长和频率相关的物理量：相速度。因为只允许一个假设存在，逻辑上波长和频率的公式中必然有一个不是独立的，可以由另外一个公式导出。如果物质波的波长和频率公式只需要一个，那等于告诉我们：物质波本质上不是波。那么这个相速度本质上也肯定和波无关。我们知道物质波的相速度是C^2/v。这个速度只和物质的运动速度v和光速c有关，不和物质的任何其它性质有关。即它只和运动的时空有关。而无物质的时空关系是由爱因斯坦的狭义相对论描述的，那么这个速度必然存在于狭义相对论中。我们看狭义相对论的时间坐标变换公式t'=(t-vx/C^2)/√(1-v^2/C^2 )。公式右边的分子部分是t-vx/C^2，其中的vx/C^2 =x/(C^2/v)。C^2/v这个速度确实存在于相对论的时空关系里。但爱因斯坦在建立狭义相对论时并没有指出这个速度。所以我们需要明确这个速度真正的物理意义，以及解释这个速度从何而来。
爱因斯坦曾经做过一个同时性的分析：爱因斯坦火车思想实验。这个实验是个定性实验。要建立时空坐标变换，就要定量空间两点同时性的时间差，这就需要一个速度。从爱因斯坦火车思想实验可以看出，这个速度既和速度v有关，也和光速c有关，但既不是v，也不是c。时间坐标变换公式t'=(t-vx/C^2 )/√(1-v^2/C^2 )。其中的vx/C^2=x/(C^2/v）就是定量了空间两点的同时性的时间差。所以这个速度C^2/v就是时空关系中同时性的度量。
速度C^2/v是一个虚速度，不是一个实在的的物理量，是不能直接测量的。为什么它是时空关系的一部分？哲学的部分在我书里有。这里只讨论物理。
既然有虚速度，那必然有对应的虚时间和虚空间。容易发现物质波的波长和频率都 是非实在的，不可直接测量。在狭义相对论的洛伦茨变换里没有虚时间和虚空间，但在闵可夫斯基的四维时空中是有虚空间的。时间坐标t通过光速c转换成虚空间ict。考虑时空的对称性，假设物质沿x轴以速度v匀速运动，空间坐标x也可以通过光速c转换成虚时间ix/c。我们此时有实速度v=x/t。对应的，同时存在一个虚速度，设为u，等于虚空间长度ct除于虚时间长度x/c。u=ct/(x/c) =C^2/(x/t) = C^2/v。以速度v运动的物质必然伴随着一个虚速度C^2/v。它是时空关系的一部分，和任何波无关。
4：物质波的频率和波长公式
现在就可以用速度C^2/v 统一物质波的频率和波长公式，也统一物质波原理和不确定性原理。我们知道不确定性原理中能量和时间满足：∆E∆t≥h/4π。物理学家没有明确这里的∆t到底是什么时间。既然对一定的能量这个时间无法再分，逻辑上∆t这个时间对于能量∆E就是整体的，存在长度，但不存在过程。它对于这个能量就是同时性的时间。即同时性可以是一个时间段，不只是一个时刻。
由此定义，对于一个能量不变的物质，它的能量和同时性的时间长度的乘积等于约化普朗克常量的一半：h/4π。设物质的能量为E，这个同时性的时间长度为t，有等式
Et=h/4π （1）
这个等式是物质波的频率公式：E=hω/2π的变化形式。频率是一个时间长度的倒数。同时性的时间长度t是物质波频率ω倒数的一半。如果能量发生大小为E的变化，因为同时性，我们不能获得小于这个时间长度t的时间，所以这个假设包含不确定性原理中能量和时间的关系：∆E∆t≥h/4π。从这个假设容易看出，物质波的频率公式就是能量和时间这对共轭变量关系的极小值。
对于一个运动的物质，它的同时性就会因为时空关系在空间上延展为一个空间段。这个空间长度等于同时性的时间长度t乘以同时性的速度C^2/v。设这个空间长度为x，对于这个物质，有
x=t* C^2/v（2）
由（2）得到t=xv/C^2 。把t代入等式（1）。得到
Evx/C^2 =h/4π （3）
假设这个物质的质量为m，把能量公式E=mC^2 代入（3），得到
(mC^2vx)/ C^2=h/4π
mvx=h/4π （4）
把动量公式P=mv代入（4）。得到等式
Px= h/4π （5）
物质的动量P和同时性的空间长度x的乘积也等于h/4π。对比物质波的波长公式：P=h/2πƛ，这就是波长公式的变化形式。同时性的空间长度x等于物质波的波长ƛ的一半。这证明物质波的波长公式可以由频率公式导出。对于动量发生大小为P的变化，我们不能获得小于这个同时性的x的空间长度，它就包含不确定性原理中动量和空间的关系：∆P∆x≥h/4π。物质波的波长公式就是动量和空间这对共轭变量关系的极小值。这证明了能量和时间、动量和空间位移这两对共轭变量的不确定性是统一的。这同时证明物质波理论和不确定性原理只是同一个物理本质的不同表述。
等式Et=h/4π，可以把t换到右边，变成E= h/4πt。 物理意义上，在t这个同时性的时间段内，如果时间实际变化了T，对应的，相当于能量发生了h/4πT的变化。这个在虚时间内发生的能量变化在数学上可以表示为虚能量ih/4πT。这个对应关系就是算符，不在此讨论。测量时，测量时间变化在前，能量E要加上虚能量i h/4πT，等于E+i h/4πT。测量时间变化在后，能量E要减去虚能量i h/4πT，等于E-i h/4πT。共轭变量乘积对易后的差值=T(E+i h/4πT)-(E-i h/4πT)T=i h/2π。就是正则对易关系。这证明不对易性也来自于同一物理本质。量子力学只需要一个和普朗克常量h有关的假设。
5：波函数的统计解释、叠加原理和概率守恒定律
已经知道一个运动的物质粒子的同时性在空间上会延展为一个空间段。粒子在逻辑上同时存在于整个空间段。或者说这个空间段上各点对于这个粒子都是同时相关的。这个相关不受光速限制，但它是定域的。不是一般认为的非定域。否则物质波的波长从何而来？我们想要观察这个粒子存在于这个空间段上的哪一点，得到的是这个粒子在这段空间上的一个概率分布，就是波函数的统计解释。粒子在空间段上各点的同时相关性就是叠加原理。不观察粒子时，这个概率分布就会随着粒子的运动在时空中移动，就是概率守恒定律。态函数就是描述这个概率分布随着粒子的运动如何在时空中演化。
所以不确定性或者说叠加原理就是双缝干涉发生的原因。而观察粒子在何时何处通过双缝，对于粒子，同时性的一段时空就变成了确定的一点，会破坏粒子的同时性，或者说不确定性被改变了，干涉就消失了。这个在逻辑上简单一致，不需要波粒二象性和塌缩等非物理的解释。但这只证明同时性的假设最简单，并不能直接证明同时性的假设。因为同时性是非实在的物理量。即使我们知道观察使粒子的不确定性被改变了，也不是粒子的同时性被改变的直接证据。
从物理实验而言，我们其实需要证明同时性是物质的基本性质。我们考虑这个性质对于任何粒子也是基本性质。而粒子另有一个和时间有关的基本性质：寿命。很难想象两个和时间有关的基本性质完全无关。同时性的改变很可能也会改变粒子的寿命。粒子的寿命不光和它如何存在有关，也会和我们如何测量它有关。那么用不同的方法测量粒子，粒子可能有不同的寿命。这个在现有的理论里应该无法解释。比如自由中子的寿命。
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