数学核心素养指标之反思 何小亚(转载)

楼主:freedomer5 时间:2016-08-03 16:41:00 点击:7685 回复:95
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  数学核心素养指标之反思
  华南师范大学数学科学学院 何小亚
  [数学课程改革是一项比经济改革更复杂的系统工程,它关系着中国数学教育未来的成败,需要决策者、专业研究者和广大一线教师等各方人士通力合作,出谋划策,明辨是非,达成共识,不能成为少数人“拍脑袋”的产品,否则会祸害无穷。]
  摘要:对六条数学核心素养的内容进行批判反思,给出反思结论,并提出三个反思问题和四个反思方向,最后给出修订后的数学核心素养框架。

  关键词:数学核心素养;反思;数学化;数学推理;数学思想
  高中课程标准修订组,按照内涵、价值和表现的框架,给出的高中数学核心素养是:数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析。[1](以下简称“六核”)。下面,首先对“六核”的具体内容(斜体文字部分)逐条进行分析反思,然后提出三个反思问题,最后给出四个反思方向和数学核心素养框架。
  1.对“六核”的逐条反思
  1.1 数学抽象
  数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程。主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征。
  数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。……
  反思1:只舍去“物理属性”,不舍去“社会属性”“形式属性”?应该是“具体属性”.
  反思2:“表征”应改为“表示”,如此更通俗易懂,也更准确。表征(representation)是教育心理学的术语,是认知者在脑中重新表示反映——再表示的意思。
  反思3:数量与数量关系、图形与图形关系已经属于纯数学世界的内容,由两者抽象出数学概念及关系就是Freudenthal所说的垂直数学化,即数学世界内部由低级向高级的发展。“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”指的是从真实世界得出数学原理结构,是由真实世界到数学世界的水平数学化之一,但却少了另一种更基础的水平数学化:由真实世界提炼出数量、图形、概念等数学模式。例如:实际问题→茎叶图;力→向量;力的分解合成→向量的分解合成。
  反思4:抽象是数学的特点之一,但不是数学所特有的。逻辑学、哲学、文学、艺术中的“抽象”俯拾皆是。浙江大学120周年校庆通告你读懂了多少?“庠序”“缉熙”“黾勉”不抽象吗?毕加索的画不抽象吗?
  概括性才是数学更本质的特点。抽象是过程手段,是概括的基础,而概括才是最终的目的.理解数学概念、原理的本质不是理解抽象性,而是理解数学概念、原理的概括性或者说“通杀性”!
  反思5:“数学抽象”是一种提炼抽取数学对象的手段,把它作为一种数学思想恰当吗?请问国际上有哪一本专著、论文把数学抽象作为数学思想之一?从定义所阐述的内容看,“数学抽象”实际上就是数学家、数学教育家Freudenthal早已提出的“数学化”的部分内容。
  数学化(mathematization)是整理现实性的过程,它包括数学家的全部组织活动,比如公理化(axiomatization)、形式化(formalization)、图式化(schematization)、建模(modeling),以及数学内部由低级向高级的推动过程[2]p42-50.这里的“现实性(reality)”是指真实世界(real-world)和数学世界(math-word)的总和,不能望文生义地理解为真实世界、现实世界.
  公理化(axiomatization)是指从少数不加定义的原始概念和不加证明的公理出发,运用逻辑推理规则把一门学科建立成为演绎系统的过程.
  形式化(formalization)是指“用日益有效的符号对语言的整理、修正和转化的过程.” 而关于图式化,Freudenthal在介绍完公理化、形式化后,是这样形容的:“人们早已习惯于把经历和行为示范性地推广,从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式.最后一步就是图式化,它和公理化、形式化相对应,尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候.” [2] P43.因此,可以认为,图式化就是形式内容的内化过程,其结果是一种心理意义,即心理结构.
  建模(modeling)是数学化的一个方面,在Freudenthal的术语观中,模型是不可缺少的一种中介,建模就是用模型把复杂的现实或理论来理想化或简单化,从而更易于进行形式的数学处理[2] P47.
  数学化被分成两种:一是水平数学化(horizontal mathematization),即从生活世界中抽象概括出数学概念、数学原理等数学模式的过程,是从“生活世界”到“数学世界”的转化过程.二是垂直数学化(vertical mathematization):即从现有的数学世界中抽象概括出更高级的数学模式的过程,是从低层数学到高层数学的过程.
  国内外同行早已认同了Freudenthal的观点:学数学就是学习数学化,教数学就是教数学化。数学化的学习就是学习数学化的过程,即学习如何进行公理化、形式化、图式化、模型化,以及学习在数学内部由低级向高级的发展过程.
  结论:基于尊重知识产权以及与国际接轨的要求,“数学化”应作为数学核心素养之一,而不是“数学抽象”。
  1.2 逻辑推理
  逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎。 ……
  反思1:
  逻辑推理是演绎推理的另一种说法,怎么能把从特殊到一般的合情推理当成演绎推理呢?归纳有两种,一是完全归纳,属于演绎推理;二是不完全归纳,属于合情推理。为什么把数学创造中最重要的直觉、想象这两大合情推理的形式丢掉了,逻辑依据是什么?
  反思2:
  为什么不和九年义务教育阶段数学课程标准对“推理”的划分标准统一?为什么要另立标准?George Polya已经为我们清清楚楚界定区分了演绎推理(deductive reasoning)、合情推理(plausible reasoning),为什么不与国际接轨,反而错误地界定逻辑推理?
  逻辑推理不是数学所特有的。不用说逻辑学和哲学,就说文学,中文系的学生谁不知道形式逻辑的基本规律,数学系有几个学生知道呢?在旧课程之下,中国学生为什么创造性不行,根本原因是我们的课程、教学重视演绎推理忽视合情推理。“数学创新能力的培养靠的不是逻辑推理,而是合情推理,逻辑推理则只是真理在手后的论证.”[3]
  结论:数学推理才是数学的核心素养之一。
  何小亚(2015):数学推理是指,由一个或几个已知判断得出一个新的数学判断的思维形式。它包括:◆演绎推理;◆合情推理:从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过不完全归纳、类比和想象等方式来推断某些结果的推理。[4]
  1.3 数学建模
  数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题。……
  反思1:什么是数学模型?这是我国数学课程大纲中一个长期没有明确的概念,为什么至今不予以明确?
  反思2:从“数学抽象”与”数学建模”的定义看出,这两个核心素养的内容明显重复了,不满足分类的子项必须互斥的逻辑要求。
  结论1:数学模型就是用数学语言符号来描述客观事物的特征及其内在联系的一种结构模式。数学建模(Mathematical Modelling):就是运用形式化和理想化的手段从实际问题中抽象概括出一个数学模型,求出模型的解,检验模型的合理性,从而使这一实际问题得以解决的过程。
  结论2:数学建模是数学化的一种,应该归入“数学化”中,不要把数学建模当作高中数学区别于小学和初中数学的内容,数学建模这一数学化的手段,要从小学和初中抓起。
  1.4 直观想象
  直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括:借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路。
  直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。
  在直观想象核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维。
  反思1:高中对空间观念的要求比初中的要求更高,为什么反而不提空间观念了?为什么不与2011年修订的义务教育数学课程标准接轨?
  (空间观念主要是指:根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。[5])
  反思2:把“想象”去掉,这一指标的内容实际上就是“数形结合”,为什么不把问题解决中更普遍、更重要的“化归”(数形结合只是实现化归的一种手段)作为数学的核心素养?请问这是不是“捡了芝麻丢了西瓜”??
  结论:仅仅把数学思想的内容之一“数形结合”作为核心素养是不够的。

  1.5 数学运算
  数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等。
  数学运算是数学活动的基本形式,也是演绎推理的一种形式,是得到数学结果的重要手段。数学运算是计算机解决问题的基础。
  在数学运算核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展数学运算能力;能有效借助运算方法解决实际问题;能够通过运算促进数学思维发展,养成程序化思考问题的习惯;形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
  反思1:从定义和三种水平划分的内容看,数学运算的内容变成了提出问题和解决问题,数学运算显然不是提出问题和解决数学问题,它只是解决问题的一种手段、工具。问题可分成3类:实际问题、纯数学问题、应用题。数学运算问题属于纯数学问题中的一种。
  反思2:把数学运算作为演绎推理的形式之一的必要性和科学性何在?为什么如此随意地将数学运算当成了演绎推理的重要形式?按照这种逻辑,为什么不可以把运算当成是数学建模、数据分析的重要形式,没有运算,数学建模、数据分析能进行吗?
  结论:数学运算当然是高中数学核心素养之一,其内容解释可以和义务教育课程标准的解释不同,但定义不要乱来,要前后衔接统一,没必要标新立异。
  1.6 数据分析
  数据分析是指针对研究对象获得相关数据,运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断,形成知识的过程。主要包括:收集数据,整理数据,提取信息,构建模型对信息进行分析、推断,获得结论。
  数据分析是大数据时代数学应用的主要方法,已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面。
  在数据分析核心素养的形成过程中,学生能够提升数据处理的能力,增强基于数据表达现实问题的意识,养成通过数据思考问题的习惯,积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。
  反思1:“数据分析是……,形成知识的过程。”“结论”与“知识”是不同的,怎么把“结论”与“知识”混为一谈?应该把“知识”改为“结论”。
  反思2:“数据分析”内涵说的是形成知识的过程,而水平划分的内容则讲的是发现问题、提出问题,前后为什么不一致,如此随意下定义?
  反思3:“数据分析”为什么不与初中的接轨,为什么此处不谈随机思想、概率的内容?为什么内涵描述与内容不相称?
  结论:高中的“数据分析”应该与义务教育课程标准衔接,更要加强调统计思想、随机思想的教育。

  2.反思问题ABC

  A. 国家的学生核心素养框架[7]已经明确:核心素养是知识、能力和态度等的综合表现 ,为什么不提数学情感态度价值观?为什么不选择“四基”中的第三基——“数学思想”作为数学的核心素养?
  何小亚(2015)按照选择数学素养构成要素的五个标准(反映数学的学科特色;在数学
  较多领域中共有;可以培养;容易分学段阐述;可以测量),确定数学素养的构成要素为:
  数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观.[4]
  张奠宙(2015):数学核心素养包括“真、善、美”三个维度:
  (1)理解理性数学文明的文化价值,体会数学真理的严谨性、精确性;
  (2)具备用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力;
  (3)能够欣赏数学智慧之美,喜欢数学,热爱数学。[6]
  B.对于每一条核心素养,征求意见稿用数学情境、现实情境或数学情境、科学情境这三个要素来依次区分高中毕业水平、高考水平和拓展水平,其逻辑依据、合理性、科学性何在?
  为什么更基础的高中毕业没有现实情境,而高考水平却有现实情境,短短的两个小时的数学高考能考察多少数学现实情境的内容?
  难道在量一量,算一算一些圆形物体的周长和直径的现实情境中概括出圆周率不是一个初中生应该具备的素养吗?
  难道在掷骰子的现实情境中提炼出古典概型不是一个高中生应该具备的数学素养吗??
  C.“毕业水平”“高考水平”“拓展水平”的水平划分导向很不好,实际上强化了高考水平,是应试教育的公开化!这是教育部的国家意志?
  世界上没有一个国家的课程标准以高考水平来划分的,高考是由考试机构,招生学校来制定的。这一导向与国家的素质教育方向以及“考教必须分离”的改革方向背道而驰!
  3. 反思的方向及数学核心素养框架
  教育改革比经济改革更复杂,不能操之过急,应该循序渐进,看明白多少就说多少,不要把尚未研究清楚的东西和根本无法落实的内容写进课程标准里。课程标准修订更需要各方人士积极参与,希望各位读者奉献您的聪明才智,解决以下关于数学核心素养的反思性问题。
  (1)目的性反思
  为什么要确定数学核心素养?到底想要解决什么问题?它解决了“双基”“三能”“四
  能”“三基”“四基”都没有解决的什么问题?它体现了“中国学生发展核心素养”框架[6]的要求吗?是如何体现的?其教育、课程、教学、测评的价值是什么?
  (2)方法性反思
  用什么方法得出这六个指标?是否存在方法性的问题?如果没有方法性的问题,那为什么会出现前述那么多的问题?
  (3)科学性反思
  什么是数学素养?不界定数学素养就来说数学核心素养能说清楚吗?两者之间是什么关系?这个“六核”标准,满足了分类的要求吗?每个指标的界定科学合理吗?
  (4)系统性反思
  “六核”是高中生的数学核心素养,那么小学生的数学核心素养是什么?初中生的数学核心素养又是什么呢?它与义务教育课程标准的十个指标(数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识、模型思想)是什么关系?教育部的国家意志是关注数学学科如何反映体现学生的9大核心素养,为什么不统一考虑小学、初中、高中学生的数学核心素养?为什么重蹈义务教育课程标准和高中课程标准研制各自为阵、内容脱节的覆辙?
  最后,通过对国内外数学素养的研究,根据上述反思的结论,作者现提出数学核心素养框架(表1)供大家反思批判。
  表1 数学核心素养框架[4]

  数学核心素养是指 满足学生终身发展和社会发展所必备的、关键的数学素养. 数学化 数学化是从现实世界到数学世界或者由低层数学到高层数学的转化过程,它主要包括:
  ◆形式化:用简洁有效的符号来表示心中的数学概念、原理和结构模式的过程。
  ◆图式化:是对形式的数学本质内容的内化过程,是对数学概念、原理、模式的理解过程。
  ◆数学建模:就是运用形式化和理想化的手段从实际问题中抽象概括出一个数学模型,求出模型的解,检验模型的合理性,从而使这一实际问题得以解决的过程。
  数学运算 数学运算是指,根据算理和算法对数与式进行的运算.它要求运算要正确、迅速、合理,并对运算结果的正确性进行判断、验算.它包括:
  ◆数值计算 ◆代数运算
  数学推理 数学推理是指,由一个或几个已知判断得出一个新的数学判断的思维形式。它包括:
  ◆演绎推理:从已有的事实和确定的规则出发,按照推理规则进行的推理,它是一种必然性推理。
  ◆合情推理:从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过不完全归纳、类比和想象等方式来推断某些结果的推理,它是一种或然性性推理。
  数学意识 数学意识是个体在思考问题时在数学方面的自觉意识或思维习惯。它包括:
  ◆数的意识:对数的意义的理解;数的表示;数的大小的相对性;用数进行交流;算法的选择;数值的估算与解释。
  ◆符号意识:能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理,所得到的结论具有一般性,能用符号进行交流。
  ◆空间观念:指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形,图形的分解与组合,等等。
  ◆数据分析意识:意识到数据中隐藏着重要信息;有收集数据、分析数据、用数据说理的习惯;意识到数据分析方法的多样性与合理性;通过数据分析体验随机性。
  ◆应用意识:一是有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中的问题;二是认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学的方法予以解决。
  数学思想
  方法 数学思想方法是数学思想和数学方法的统一,它
  既包括观念层面的数学思想又包括操作层面的数学方法。比如,数学表示、数形结合、公理化、化归、模型化思想、统计思想、随机思想、微积分思想,等等.
  数学情感
  态度价值观 数学情感态度价值观是指,个体对数学学科、数
  学活动、数学对象的喜好、立场观念等心理倾向。它包括:对数学的自信心,对数学的科学价值、应用价值和文化价值的认识,对数学独特美之感受,等等.
  参考文献
  [1]教育部课程标准修订组.普通高中各学科核心素养一览表[EB/OL].
  http://learning.sohu.com/20160422/n445632409.shtml
  [2]弗赖登塔尔. 数学教育再探—在中国的讲学[M].上海:上海教育出版社,1999.
  [3]何小亚.回应“姜伯驹:新课标让数学课失去了什么”.广东教育,2006.6
  [4] 何小亚.学生数学素养指标的理论分析[J].数学教育学报,2015,24(1):13-20
  [5] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012:5-6
  [6]洪燕君,周九诗,王尚志,鲍建生.普通高中数学课程标准(修订稿)的意见征询——访谈张奠宙先生[J].数学教育学报,2015,24(3):35-39
  [7]中华人民共和国教育部.中国学生发展核心素养(征求意见稿)[EB/OL].
  http://blog.sina.com.cn/s/blog_7f1799a20102xcp6.html
  ——中学数学研究(广州),2016年第7期(上半月)

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楼主freedomer5 时间:2016-08-04 05:18:17
  数学核心素养框架:
  1.数学化:形式化、图式化、数学建模;
  2.数学运算:数值计算、代数运算;
  3.数学推理:演绎推理、合情推理;
  4.数学意识:数的意识、符号意识、空间观念、数据分析意识、应用意识;
  5.数学思想方法;
  6.数学情感态度价值观.
  • dreamer15: 举报  2016-08-04 22:57:20  评论

    @freedomer5 这里提到了数学思想方法,我们知道数学思想方法里头有很多,包括化归,数形结合之类的,第5点的提出跟前面是否会有重复呢?
  • freedomer5: 举报  2016-08-04 23:51:12  评论

    同意您的意见。其实,数学思想方法素养要以数学思想为核心,方法是实现思想的途径,可以把“方法”二字去掉。
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楼主freedomer5 时间:2016-08-04 05:52:20
  “用数学的眼光看世界,用数学的思维分析世界”说法很美好,但如何具体落实呢?
  其实质内容还是要靠数学意识五个内容来具体落实。
楼主freedomer5 时间:2016-08-04 06:07:26
  Freudenthal所说的数学化还包括公理化,没有把公理化列入数学核心素养的内容之一的原因,一是公理化是数学专业的学生、数学工作者、数学家应该具备的数学专业素养,二是考虑到对基础教育阶段的学生而言,公理化不符合最基本、最必要、最关键的核心素养要求.
楼主freedomer5 时间:2016-08-04 11:01:49
  从1.1至1.6中每一条的反思1之前的文字应为斜体,是高中数学课标修订组的对该条核心素养的内容说明。
作者:强哥爱看红楼梦 时间:2016-08-04 13:35:48
  专家,根本不了解基层教育实际,成天想一出是一出的,有意思吗,一个职称就把教师要逼疯了,那些没有教不好的学生,只有教不好的老师的言论,你深入偏远一线看看,你看看中国式教育到底什么样,你就不会这样说了
楼主freedomer5 时间:2016-08-04 14:02:24
  @强哥爱看红楼梦 2016-08-04 13:35:48
  专家,根本不了解基层教育实际,成天想一出是一出的,有意思吗,一个职称就把教师要逼疯了,那些没有教不好的学生,只有教不好的老师的言论,你深入偏远一线看看,你看看中国式教育到底什么样,你就不会这样说了
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  真理在民间,好学生不是老师教出来的,呵呵!
楼主freedomer5 时间:2016-08-04 17:32:20
  期待大家拍砖!!
楼主freedomer5 时间:2016-08-04 18:42:42
  ★2013年9月,有10万网友参加了新浪网的一项调查,有70% 的网友坦承:“在求学期间,曾经被数学伤害过。”

楼主freedomer5 时间:2016-08-04 18:43:51
  ★2013年10月,新浪微博关于“数学该滚出高考吗”的调查显示,截至25日22:10,观察者编辑发现参与讨论人数已经超过13万人,近10万网友支持数学滚出高考,称自己仅是“做题机器”,实际生活中真正广泛使用的只有加减乘除.”。
楼主freedomer5 时间:2016-08-04 18:44:29
  ★为什么那么多网友被数学伤害过?

  ★为什么那么多网友同意数学滚出高考?

  ★为什么其它学科没有伤害那么多网友,没有被赶出高考?
楼主freedomer5 时间:2016-08-04 18:49:20
  征求意见稿中的六条数学核心素养能解决“数学伤害大众”这一悲剧吗?
  • dreamer15: 举报  2016-08-04 23:02:45  评论

    @freedomer5 数学的情感态度价值观,在课堂中应该怎样体现?怎样让学生觉得数学有趣,爱上数学,是一个老师值得思考很久的问题!
  • freedomer5: 举报  2016-08-04 23:39:42  评论

    是的!中国目前的数学教育最大的问题是课堂教学中“情感态度价值观”目标的缺失,这是数学伤害学生最直接的原因,你说数学冤不冤啊!
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楼主freedomer5 时间:2016-08-05 06:54:35
  评价制度的落后是情感态度价值观目标缺失的制度原因
楼主freedomer5 时间:2016-08-05 14:13:14
  内容缺失是情感态度价值观目标缺失的操作原因
楼主freedomer5 时间:2016-08-05 14:15:38
  教师在备课时不知道如何去设计情感态度价值观目标
楼主freedomer5 时间:2016-08-05 18:00:39
  三维目标设计的标准可以参看何小亚主编的中学数学教学设计,科学出版社,2012年第二版第二一章
楼主freedomer5 时间:2016-08-05 18:04:20
  Sorry,是第一章
楼主freedomer5 时间:2016-08-06 05:58:54
  数学思想与良好的情感态度价值观是我们最缺乏的核心素养
楼主freedomer5 时间:2016-08-06 06:42:40
  有不少专家、教研员在各种场合都说:“三维目标是课程目标,不是课堂教学目标,在数学课堂教学设计中没必要都写三维目标”
楼主freedomer5 时间:2016-08-06 07:09:10
  专家、教研员都说不用写了,一线教师会去思考、去设计吗?
楼主freedomer5 时间:2016-08-06 10:35:15
  没有每一节课对三维目标的追求,何来宏观三维目标的达成
楼主freedomer5 时间:2016-08-06 17:54:39
  读到好的作品,听老师朗读经典美文,会让我们感动,让人热泪盈眶!
  请问:您有没有被数学公式、数学原理感动过?当然没有!因为您的数学老师从来没有被数学公式、数学原理打动过!!
  • dreamer15: 举报  2016-08-06 20:12:44  评论

    @freedomer5 对于这点,我非常的赞同!数学相对其他学科会抽象一些。想让学生爱上数学,就应从老师入手,在课堂上引导学生发现数学之美,用自己对数学的热爱去感染学生。而当下的老师,可能被数学感动的比较少,能表现出对数学热爱的就更少了,如何培养“新老师”也是一个急需解决的问题!
  • freedomer5: 举报  2016-08-06 20:32:09  评论

    更急迫的是如何让那么多一线老师感受到数学的得独特之美,每一节课都是以欣赏数学的角度向学生展示数学如神灵一般的魔力!
我要评论
楼主freedomer5 时间:2016-08-06 20:58:46
  从今年算起,3年一届,很多数学老师还要3K(K=1,2,...13)年才退休,再加上源源不断毕业的不懂得欣赏数学的新教师入职,不知道还有多少学生被数学“伤害”?
楼主freedomer5 时间:2016-08-06 22:24:01
  您瞧人家春晚小保安刘涛:“我骄傲啊!我自豪啊!我高兴啊!”
  作为一个数学教育工作者:“我惭愧啊!我自卑啊!我难过啊!”

楼主freedomer5 时间:2016-08-07 06:37:46
  接受网友dreamer15的建议,数学核心素养框架修订为:
  1.数学化:形式化、图式化、数学建模;
  2.数学运算:数值计算、代数运算;
  3.数学推理:演绎推理、合情推理;
  4.数学意识:数的意识、符号意识、空间观念、数据分析意识、应用意识;
  5.数学思想;
  6.数学情感态度价值观.
楼主freedomer5 时间:2016-08-07 09:48:19
  要扭转数学伤害众生的局面,需要你我他的努力!
楼主freedomer5 时间:2016-08-08 15:01:39
  数学的魅力到底是什么?老师如果没想明白,数学伤害学生的悲剧继续上演!
楼主freedomer5 时间:2016-08-09 07:23:20
  关于发帖讨论数学核心素养之事,套用最新的网红词语,我已尽了“洪荒之力”!
  谢谢网友dreamer15参与讨论!
  暑假“大片”开始,……
楼主freedomer5 时间:2016-08-12 15:14:09
  有教研员要求给出垂直数学化的例子,不知道有没有哪位网友帮帮他?
我要评论
楼主freedomer5 时间:2016-08-12 19:54:24
  小学的垂直数学化:从具体的1+2=2+1,7+3=3+7,21+9=9+21,概括出交换律a+b=b+a
楼主freedomer5 时间:2016-08-12 19:56:00
  初中的垂直数学化:从大量的两个字母的和与差之积的结果概括出平方差公式。
楼主freedomer5 时间:2016-08-12 19:56:34
  高中的垂直数学化:由两角和的余弦公式推出二倍角的正切公式。
楼主freedomer5 时间:2016-08-15 19:28:52
  数学之所以伤害众多网友,教学上的原因是数学老师没有做好“图式化”
楼主freedomer5 时间:2016-08-17 09:29:03
  宝宝离婚激涟漪,核心素养无人议。呵呵!
楼主freedomer5 时间:2016-08-28 06:55:29
  暑假大片降下帷幕!
楼主freedomer5 时间:2016-09-07 08:03:42
  数学抽象的培养不具备实操性,而数学化的培养却是可以落到实处的,因为数学化就是形式化、图式化、模型化和公理化。
楼主freedomer5 时间:2016-09-07 08:05:37
  国际视野下的“核心素养”有一个必须具备的前提,那就是“可以培养”,数学抽象的培养不具备实操性,怎么能把它当成核心素养呢?
楼主freedomer5 时间:2016-09-11 15:03:28
  一切讨论数学抽象的培养文章,实际上是在说水平数学化或垂直数学化,其中要用到形式化、图式化、模型化和公理化
楼主freedomer5 时间:2016-09-17 08:01:49
  9月13日,“中国学生发展核心素养”框架正式颁布
楼主freedomer5 时间:2016-09-27 06:23:03
  数学应属于所有学科的最顶端 。数学在我心目中是至高无上的神灵,它驾驭着社会科学和自然科学。
楼主freedomer5 时间:2016-09-27 06:23:41
  抽象: 是在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来,并舍弃个别的、非本
  质特征的思维过程.
  概括: 概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的共同属
  性的思维过程.
  抽象和概括的区别和联系:
  抽象方法与概括方法是不同的。抽象是从具体事物的多种性质中抽取某些性质给予单独考察,所以抽象侧重于分析、提炼。而概括是在思维中由认识个别事物的本质属性,发展到认识具有这种属性的一切事物,从而形成关于这类事物的普遍概念。概括则侧重于归纳、综合。
  抽象和概括又是密切联系的。抽象是概括的基础,而概括则是抽象的发展。数学中概念的形成、问题的解决往往是二者协同作用下完成的。
楼主freedomer5 时间:2016-09-27 06:27:27
  小学的水平数学化:从具体的分烧饼、月饼中概括出分数的概念.
  初中的水平数学化:用数学来测树高,首先要进行理想化,从真实世界过渡到数学世界,然后在数学世界里求解纯的数学问题,最后……
  高中的水平数学化:指数函数概念的提出;已知基数和年均增长率以及目标数,求年份的对数问题。
楼主freedomer5 时间:2016-09-27 06:28:34
  追根溯源,代数系统的老祖宗是数1,1生2,2生3,3生万物;几何系统的老祖宗是点,点动成线,线动成面,面动成体。而1是单点集合的标志,点是没有大小范围的东西——点不是个东西,他俩在真实世界里是不存在的。因此,从真实世界的角度看,数学是不存在的,是虚的,看不见摸不着!数学世界是人类心智的构造,是思维存在!
  因此,在真实世界和数学世界之间存在着不可逾越的鸿沟!那么,如何实现由真实世界到数学世界的穿越呢?
  我的答案是:理想化!形式化!
  在前述的问题“已知基数和年均增长率以及目标数,求年份的的对数问题”中已经做了理想化的假设:每一年的增长率是一样的。否则,无法实现穿越!
楼主freedomer5 时间:2017-01-23 13:58:39
  著名的英国数学家、哲学家A.N Whitehead在《数学与善》这篇文章里指出:“数学思想是以实体存在为背景对实体所进行的抽象。也就是说,数学思想是抽象概括的产物,怎么能把产生数学思想的一个环节——抽象(更重要的环节是概括)当成数学思想呢?这不就是明显的循环定义吗?
楼主freedomer5 时间:2017-01-24 15:08:23
  小学的垂直数学化:从具体的1+2=2+1,7+3=3+7,21+9=9+21,概括出交换律a+b=b+a.
  初中的垂直数学化:从大量的两个字母的和与差之积的结果概括出平方差公式。
  高中的垂直数学化:由两角和的余弦公式推出二倍角的正切公式。
楼主freedomer5 时间:2017-01-24 15:08:56
  小学的水平数学化:从具体的分烧饼、月饼中概括出分数的概念.
  初中的水平数学化:用数学来测树高,首先要进行理想化,从真实世界过渡到数学世界,然后在数学世界里求解纯的数学问题,最后……
  高中的水平数学化:指数函数概念的提出;已知基数和年均率增长以及目标数,求年份的的对数问题。
楼主freedomer5 时间:2017-01-24 15:10:32
  在数学证明和其它数学问题的求解过程中,领悟“由因导果,执果索因,上下紧逼,前后夹攻,思路贯通”的数学思想难道不是最基本、最关键的数学素养——数学核心素养?
楼主freedomer5 时间:2017-01-24 15:11:17
  化归是一种重要的核心素养
楼主freedomer5 时间:2017-01-24 15:12:01
  史宁中教授到处作报告指出:“以数学的眼光看世界就是数学抽象”。关于数学的眼光大家可以参看张景中院士写的一本书《数学家的眼光》。楼主不同意史宁中教授的此种说法。
  世界分成真实世界和数学世界,在数学世界中以数学的眼光看代数式,并不等同于“抽象”,因为“压缩”是数学中一种比较重要的眼光。在中学数学中,代数式的本质表示一个数,因为代数式是由运算和字母生成的,而字母的本质是表示数的,所以可以把一个复杂的代数式在心理压缩为一个数,可以记为一个简单的字母。
  强调空洞的“抽象”,毫无教育实践意义,反而是一种倒退。下面的观点更科学、更具有教育实践操作意义:“以数学的眼光看世界”的本质是数学意识,它包括数的意识、符号的意识、空间观念、数据分析意识和应用意识。
楼主freedomer5 时间:2017-01-24 15:12:38
  代数教学不但把要让学生理解代数式的概括性或者说“通杀性”(注意:不是抽象性),还要教会学生“将复杂的代数式看成一个数”这种“压缩”的数学眼光
  “以数的眼光看式子”是蒋敏佳、何小亚于2003年6月在文献“也谈‘淡化形式,注重实质’”(中学数学研究,2003年第6期)中首次提出。
楼主freedomer5 时间:2017-01-24 15:13:13
  数学抽象等同于数学意识吗?
  随便举一个史宁中教授最熟悉的统计领域的例子:面对下属提交的一堆统计数据,一般领导的眼光只关注数据的测量误差,但受过良好数学教育的领导会有这样的数学眼光:数据是带有随机性误差的,这种误差,主要不是指通常意义下的因测量不准而造成的误差,而是指由于样本的随机性而导致的随机误差。
  再比如,“平均数不一定表示中等水平,超过平均数不一定就是中上水平”这种看平均数的眼光就是一种数的意识,而不是数学抽象。怎么能把内容丰富的“数学眼光”简单粗暴地当成“数学抽象”?
楼主freedomer5 时间:2017-02-19 07:37:29
  2016年第六期的数学教育学报发表了研究报告《数学学科核心素养要素析取的实证研究》。通过质性分析和定量分析方法得出了两个数学核心素养系统,一是:数学抽象、运算能力、推理能力、数学建模、数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格;二是:数学抽象、运算能力、推理能力、建模与数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格。
  通过质性方法和定量方法去研究数学核心素养是该文的一大亮点,值得肯定和学习。
楼主freedomer5 时间:2017-02-19 07:38:13
  现提出几个问题供大家思考:
  1.数学核心素养到底是含8种成分还是含7种成分?这样的结果有什么理论意义和实践意义?国际视野下的“核心素养”有一个必须具备的前提,那就是“可以培养”,数学抽象的培养具备实操性吗?能把它当成核心素养吗?翻看国内众多讨论数学抽象的培养文章,实际上是在说水平数学化或垂直数学化,其中要用到形式化、图式化、模型化和公理化。为什么不考虑更具实操性的“数学化”呢?
楼主freedomer5 时间:2017-02-19 07:52:41
  2.为什么不讨论研究本身的信效度的问题,如何保证这一研究的信度和效度?
  具体说吧,在做质性分析时,选出的17个因素合理吗?如何保证其逻辑性和科学性?在做定量分析时,选择被试的标准是什么?为什么只选择了一些初高中数学教师、研究生、“国培”教师,不选择各个领域高水平的数学教授、数学教育教授?为什么只选择福建师大、河南师大、深圳大学、广西师大、郧阳师专、湖南师大、湖南科技大学、赣南师院、内蒙古师大、山西师大、杭州师大等高校的数学教师,不选择北大、清华、中科院、北京师大、华东师大、东北师大、华中师大、南京师大、华南师大这些名校的数学教授和数学教育教授?为什么只考虑国内的教授,不考虑国外的教授。简单说吧,选一些连什么是抽象,什么是概括,两者有什么区别和联系都没搞清楚的、被提出六条核心素养的“专家们”洗脑的听众做被试能得出科学的结论吗?
楼主freedomer5 时间:2017-02-19 07:55:37
  3.教育研究的结论科学吗?残酷的现实是,迄今为止,教育研究仍有一个硬伤:信效度的保证问题!人们还是坚信:真理只是掌握在少数人手中!
楼主freedomer5 时间:2017-05-11 07:03:40
  在微信上看到北师大基础教育教材发布的史宁中校长谈:统计学与数学的区别。
  大名鼎鼎的史宁中教授居然把真实世界中的随机现象当成数学世界中随机事件,这么明显的错误,还被广为传播,这不是误导了广大的中小学师生吗?
  请大家参看:何小亚.《高中概率模型中的问题和对策》,数学教育学报,2017年第1期
楼主freedomer5 时间:2017-05-12 07:20:24
  随机事件是一个由随机试验确定的概念,而随机试验是数学世界中一个满足以下3个条件的纯数学概念:
  ① 试验的所有可能结果可以预知,且不止有一个结果.
  ② 每次试验只出现所有可能结果中的一个,但试验前无法确定哪一个结果会出现.
  ③ 试验可以在同一条件下重复进行.
楼主freedomer5 时间:2017-05-12 07:27:00
  不能把真实世界中的随机现象当成数学世界中的随机事件。
  人类是通过随机试验这一数学工具来研究随机现象的。
楼主freedomer5 时间:2017-06-21 06:49:52
  在2017年6月16-18日在北师大召开的《中学数学课程与教材国际论坛》上,国外著名的数学教育家:美国密歇根大学的Edward A.Silver,荷兰乌得勒支大学的Paul Drijvers,汉堡大学的Gabriele Kaiser,不明白为什么中国把“数学抽象”作为核心素养,国外讨论的是水平数学化(horizontal mathematization)和垂直数学化(vertical mathematization)。
楼主freedomer5 时间:2017-06-21 06:55:11

  教育部基础教育质量检测中心的一位研究者在大会上坦承自己无法统计描述“数学抽象”这一指标,因为按照课标的定义,好多题都可以算是数学抽象。这正好说明了“数学抽象”指标的不科学。
楼主freedomer5 时间:2017-06-21 07:02:18
  在此次论坛上,有听众问史宁中教授,“什么是基本活动经验?”没想到史教授竟然说:“我也不知道!”把一个说不清,道不明的“基本活动经验”作为全中国的课标文件,要全国的中小学数学教师来学习,这是什么逻辑?
楼主freedomer5 时间:2017-06-21 07:15:12
  “三基”中的数学思想还没有落实好,又来一个更模糊的、自己都说不清的第四基“基本活动经验”。现在又弄出问题更多的六条“数学核心素养”。现在都什么时代了,中国的数学教育竟然还这样被瞎折腾!
楼主freedomer5 时间:2017-06-21 08:41:12
  为什么中国人把合情推理(plausible reasoning)当成演绎推理(deductive reasoning)?中国要搞文化输出,必须要符合专业规范。这么明显的错误,为什么不接受大家的修改建议。决策者身边的人、学生有责任帮助他走出固不可彻的误区。
楼主freedomer5 时间:2017-06-30 06:53:25
楼主freedomer5 时间:2017-06-30 07:03:08
楼主freedomer5 时间:2017-06-30 22:27:48
  图片不清楚。
  此题是华南师大研究生课程《数学教育心理学》的结业考试试卷中第十题数学问题解决的第2小题,这个题考查的是远比“直观”更普遍、更重要、更精彩的一种数学素养——真正的数学核心素养!各位看官,请您动动笔,解解题,就明白了:为什么把“直观”当数学核心素养就是“捡了芝麻丢了西瓜”!
作者:Excellent猪 时间:2017-11-01 16:48:04
  首先,阐述以下事实:
  (1)根据文献[1],史宁中教授关于数学抽象的阐述中,其实是包含水平数学化和垂直数学化的。
  (2)根据文献[2],史宁中教授关于逻辑推理内涵的揭示中,其实是包含演绎推理和归纳推理的。
  (3)根据文献[3],史宁中教授解释了数学基本思想与数学“双基”、“四基”以及数学核心素养的传承。其中,他将数学基本思想概括为:抽象、推理、模型(并认为抽象、推理是大家公认的)。数学核心素养是六个:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析,前三个就是数学基本思想、也是传承,后三个是传统的数学能力。
  然后,表达以下看法:
  (1)针对何小亚教授的反思A,核心素养其实还是提到了第三基“数学思想”(即抽象、推理、建模)。
  (2)基于史宁中教授在近几年的论文中对数学抽象、逻辑推理等核心素养的阐述,从外延的解读上来看是没有偏差。但具体定义还不够严谨,仍需推敲。另外,新名词、新说法(如逻辑推理)的使用应慎重,应与国际接轨。
  (3)针对何小亚教授对数学核心素养的研究,提出以下问题:
  您在文献[4]中提出,根据五个标准(反映数学的学科特色;在数学较多领域中共有;可以培养;容易分学段阐述;可以测量)提出六条核心素养:1.数学化;2.数学运算;3.数学推理;4.数学意识:数的意识、符号意识、空间观念、数据分析意识、应用意识;5.数学思想方法;6.数学情感态度价值观.
  ①既然数学思想方法是六条核心素养之一,那它一定是容易分学段阐述的,可以测量的。那么在您的新作:文献[5]中,为何又指出:数学思想的内涵外延等基础研究仍然十分薄弱,缺少可行性?
  ②您的六条指标是否具有重复的部分,如第五条与第一条?
  ③您是如何得出以上六个指标的,是否存在方法性的问题?就文献[4]而言,您的主要方法是:文献研究、比较研究。而这很可能也是史宁中教授的方法。

  参考文献:
  [1]史宁中.数学的基本思想[J].数学通报,2011,1:1-9.
  [2]史宁中.试论数学推理过程中的逻辑性[J].数学教育学报,2016,4:1-16.
  [3]刘祖希.访史宁中教授:谈数学基本思想、数学核心素养等问题[J].数学通报,2017,5:1-5.
  [4]何小亚.学生“数学素养”指标的理论分析[J].数学教育学报,2015,24(1):13-20.
  [5]张敏,何小亚.数学教学原则的反思与重构[J].中学数学研究,2017,9.
我要评论
作者:Excellent猪 时间:2017-11-01 17:40:49
  1)主贴中,何教授对核心素养的反思与质疑,我近乎全部认同;
  2)作为纲领性的东西,课标组在制定、审定核心素养时,理应字字推敲,不该出现与教育学、心理学相悖或与国际脱轨的说法(如逻辑推理);
  3)针对核心素养中较难理解的说法(如数学抽象、数学基本思想等),课标组应给出详细的说明,不应要求读者自己去查阅相关专家的论文,进而揣测专家的意图;
  4)核心素养不应是由部分数学家、数学教育家经过若干时间的文献研究、比较研究就确定下来的,她应该通过实证研究进行检验,应该经得起其他人的质疑、反思,并在质疑和反思中不断改良。
楼主freedomer5 时间:2017-11-03 23:12:37
  再回复网友Excellent猪最后的三点意见:
  1.“①既然数学思想方法是六条核心素养之一,那它一定是容易分学段阐述的,可以测量的。那么在您的新作:文献[5]中,为何又指出:数学思想的内涵外延等基础研究仍然十分薄弱,缺少可行性?”
  ——哈哈哈,难得你横向对比何教授的文章观点,数学思想的基础研究需要加强,其重要性不因此而受影响,请不要用数学的“非0及1”思维标准来探讨复杂的教育问题。
  2.“②您的六条指标是否具有重复的部分,如第五条与第一条?”
  ——你的思维“好数学”哦!但教育研究的问题没有绝对的真,但却有层次优劣之分,重要的是我们需要追求的是更完美。就好比视力1.5和视力1.7还是有优劣之分的,不是吗?此外,正是考虑到许多教师教数学只是教知识和一些解题能力,缺少对数学思想的追求落实,将其分离出来是实践性的需要;
  3.“③您是如何得出以上六个指标的,是否存在方法性的问题?就文献[4]而言,您的主要方法是:文献研究、比较研究。而这很可能也是史宁中教授的方法。”
  ——只要认真读“[4] 何小亚.学生数学素养指标的理论分析[J].数学教育学报,2015,24(1):13-20”一文与“反思”,应该知道何小亚教授的依据是Freudenthal的理论+何小亚教授的五个标准(反映数学的学科特色;在数学较多领域中共有;可以培养;容易分学段阐述;可以测量)。你的结论表明你也和我一样我都不知道史宁中教授的标准。
  希望史宁中教授回应“反思”一文中的问题.你说他会回应吗?答案大家都已经很清楚!
楼主freedomer5 时间:2017-11-04 06:05:58
  我们在说话、做事、讨论问题时,一定要遵守同一律,不要偷换概念和偷换论题。也就是平常老百姓说的“一码归一码”。
楼主freedomer5 时间:2017-11-04 06:19:05
  如此是不是更好一些呢?
楼主freedomer5 时间:2017-11-04 22:16:14
  现逐条回复69楼中的观点:
  1.“(1)根据文献[1],史宁中教授关于数学抽象的阐述中,其实是包含水平数学化和垂直数学化的。”
  ——何小亚教授的“数学核心素养指标之反思”(简称“反思”)一文讨论的对象是“高中数学六条核心素养”,不是史宁中教授的文献[1];
  2.“(2)根据文献[2],史宁中教授关于逻辑推理内涵的揭示中,其实是包含演绎推理和归纳推理的。”
  ——“反思”一文指出了史宁中教授把合情推理与演绎推理混为一谈,不区分完全归纳与不完全归纳,不与国际接轨的错误,并没有说史宁中教授不认同归纳推理;
  3.“(3)根据文献[3],史宁中教授解释了数学基本思想与数学“双基”、“四基”以及数学核心素养的传承。其中,他将数学基本思想概括为:抽象、推理、模型(并认为抽象、推理是大家公认的)。数学核心素养是六个:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析,前三个就是数学基本思想、也是传承,后三个是传统的数学能力。”
  —理由与第一条的回应类似,不再赘述;
楼主freedomer5 时间:2017-11-05 05:08:03
  有些贴子发不出来,或者消失了。
  这是74楼的帖子:
  请网友Excellent猪看看25楼:  
  接受网友dreamer15的建议,数学核心素养框架修订为:
  1.数学化:形式化、图式化、数学建模;
  2.数学运算:数值计算、代数运算;
  3.数学推理:演绎推理、合情推理;
  4.数学意识:数的意识、符号意识、空间观念、数据分析意识、应用意识;
  5.数学思想;
  6.数学情感态度价值观.

  下接75楼
楼主freedomer5 时间:2017-11-05 05:13:48
  71楼的内容与76楼的内容要实施一次置换。
楼主freedomer5 时间:2017-11-07 06:49:56
  可能是发现六条核心素养中没有包括重要的“数学思想”难以服众,史教授及其粉丝说,数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析,前三个就是数学基本思想、也是传承,后三个是传统的数学能力。
  逻辑推理是数学基本思想吗?到底什么是逻辑推理?什么是数学思想?什么是数学基本思想?难道“直观”(即“数形结合思想”)不是更基本的数学思想?
楼主freedomer5 时间:2017-11-07 06:53:31
  回顾中国的数学教学大纲演变的历史,三大能力中的“逻辑推理能力”难道不是更传统的数学能力?
楼主freedomer5 时间:2017-11-07 07:14:29
  1963-1996年,我们国家的数学教学大纲一直把运算能力、逻辑思维(或逻辑推理)能力、空间想象力当成“三大能力”。数据分析能力是2001年新课改才提出来的。54岁的“三大能力”和16岁的数据分析能力相比,到底谁更“传统”?
楼主freedomer5 时间:2017-11-07 07:25:08
  就事论事,我骨子里十分喜欢网友Excellent猪的.喜欢他(或她)的反思思维及胆识,在当今明哲保身大行其道的中国,真是难能可贵!
楼主freedomer5 时间:2019-07-09 11:18:55
  “数学抽象的内容就可以细分为两类六种:一是在真实世界中利用理想化和数学表示提出数学问题、数学概念、数学原理,这个叫水平数学化(horizontal mathematization).数学建模是一种很重要的水平数学化,可以将其单列出来讨论;二是在数学世界中提出更高级的数学问题、数学概念、数学原理,这个叫垂直数学化(vertical mathematization).”
  ——何小亚.追求数学素养达成的教学设计标准与案例[J].中学数学研究(上半月),2019,2:封2-8.
楼主freedomer5 时间:2019-07-15 14:04:54
  当前,我国的中小学数学教学还存在什么严重的问题?数学教育的未来,路在何方?数学三维目标过时了?落后了?什么是数学素养、数学核心素养,二者与数学三维目标是什么关系? 如何具体落实数学核心素养?在写教案时,三维目标还能写吗?目标里如果不出现培养数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析这些官方的核心素养词汇就不合格吗?科学且具有实操性的数学教学设计的标准到底是什么?各位客官,如果您还有激情关注这些问题,请花时间阅读《中学数学研究》杂志2019年第2期上这篇新鲜出炉的长文:追求数学素养达成的教学设计标准与案例——何小亚
楼主freedomer5 时间:2019-07-21 08:52:37
  学数学就是学数学化,教数学就是教会学生数学化,数学化的学习需要创设问题情境。水平数学化需要真实世界的情境,是真实的实际问题,而不是瞎编的实际问题;垂直数学化需要创设纯数学世界的情境,没必要联系生产生活实际。
作者:回首一趟 时间:2019-07-23 19:23:32
  支持楼主
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